Ein Zylinder ist eine dreidimensionale Struktur, die aus zwei parallelen kreisförmigen Basen besteht, die durch eine gebogene Oberfläche verbunden sind. Die Basen des Zylinders überlappen sich, um einen rechtwinkligen Zylinder zu bilden. Die Achse des Zylinders ist der Linienabschnitt, der die beiden Zentren verbindet und die Höhe des Zylinders darstellt. Die Draufsicht des Zylinders ähnelt einem Kreis, während die Seitenansicht einem Rechteck ähnelt. Im Gegensatz zu einem Kegel, einem Würfel oder einem Quader hat ein Zylinder aufgrund seiner gekrümmten Form und des Fehlens gerader Linien keine Ecken. Auf seiner Oberfläche befinden sich zwei konzentrische Kreise.
Die Formel für die Oberfläche eines Zylinders
Die Oberfläche eines Zylinders kann in zwei Arten unterteilt werden: die gekrümmte Oberfläche und die Gesamtoberfläche. Die gekrümmte Oberfläche eines Zylinders ist der Bereich zwischen den beiden parallelen kreisförmigen Basen und wird auch als Mantelfläche bezeichnet. Die Formel für die gekrümmte Oberfläche eines Zylinders lautet:
Gekrümmte Oberfläche = 2πrh
Hierbei ist r der Radius des Zylinders und h die Höhe des Zylinders.
Um die Gesamtoberfläche eines Zylinders zu berechnen, müssen wir die Fläche der beiden Basen und die gekrümmte Oberfläche addieren. Die Formel für die Gesamtoberfläche eines Zylinders lautet:
Gesamtoberfläche = 2πr² + 2πrh
Hierbei ist r der Radius des Zylinders und h die Höhe des Zylinders.
Beispiel zur Berechnung der gekrümmten Oberfläche eines Zylinders
Nehmen wir an, wir haben einen Zylinder mit einem Radius von 7 cm und einer Höhe von 44 cm. Um die gekrümmte Oberfläche dieses Zylinders zu berechnen, setzen wir die Werte in die Formel ein:
Gekrümmte Oberfläche = 2πrh
*Gekrümmte Oberfläche = 2 (22/7) 7 44**
*Gekrümmte Oberfläche = 2 22 5 2**
Gekrümmte Oberfläche = 1936 cm²
Die gekrümmte Oberfläche dieses Zylinders beträgt 1936 cm².
Beispiel zur Berechnung der Gesamtoberfläche eines Zylinders
Nehmen wir an, wir haben einen Zylinder mit einem Radius von 7 cm und einer Höhe von 10 cm. Um die Gesamtoberfläche dieses Zylinders zu berechnen, setzen wir die Werte in die Formel ein:
Gesamtoberfläche = 2πr² + 2πrh
*Gesamtoberfläche = 2 (22/7) 7² + 2 (22/7) 7 10**
Gesamtoberfläche = 2 22 49 + 2 22 70
Gesamtoberfläche = 308 + 440
Gesamtoberfläche = 748 cm²
Die Gesamtoberfläche dieses Zylinders beträgt 748 cm².
Herleitung der Formel für die Oberfläche eines Zylinders
Betrachten wir einen Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h. Der Zylinder kann in drei Teile unterteilt werden: eine kreisförmige Basis oben, eine rechteckige gekrümmte Fläche und eine kreisförmige Basis unten. Die rechteckige Fläche hat eine Länge von 2πr und eine Breite von h. Die Fläche kann also wie folgt berechnet werden: A1 = 2πrh, was auch die gekrümmte Oberfläche des Zylinders ist. Die Fläche einer kreisförmigen Basis mit dem Radius r wird durch πr² gegeben. Die Fläche der beiden Basen ist also A2 = (πr² + πr²) = 2πr². Die Gesamtoberfläche des Zylinders ist die Summe dieser beiden Flächen: A = A1 + A2 = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).
Fazit
Die Oberfläche eines Zylinders kann mithilfe der Formeln für die gekrümmte Oberfläche und die Gesamtoberfläche berechnet werden. Die gekrümmte Oberfläche ist der Bereich zwischen den beiden parallelen kreisförmigen Basen, während die Gesamtoberfläche die Fläche der Basen und der gekrümmten Oberfläche umfasst. Durch die Anwendung dieser Formeln können wir die Oberfläche eines Zylinders genau berechnen.